Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.
Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
| x | + | y | − | z | = | 1 | (1) |
| 8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) |
| −4x | − | y | + | 3z | = | 1 | (3) |
Metode eliminasi
Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
| x | + | y | − | z | = | 1 | (1) |
| −4x | − | y | + | 3z | = | 1 | (3) |
| ------------------------- | + |
| −3x | | | + | 2z | = | 2 | (4) |
Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk yadalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).
| x | + | y | − | z | = | 1 | (1) | × 3 | 3x | + | 3y | − | 3z | = | 3 | (1) |
| 8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) | | 8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) |
| ------------------------- | - |
| −5x | | | + | 3z | = | 2 | (5) |
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.
| −3x | + | 2z | = | 2 | (4) | × 3 | −9x | + | 6z | = | 6 | (4) |
| −5x | + | 3z | = | 2 | (5) | × 2 | −10x | + | 6z | = | 4 | (5) |
| ------------------------- | − |
| x | | | = | 2 | (6) |
Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
| −3(2) + 2z | = | 2 | (4) |
| −6 + 2z | = | 2 | |
| 2z | = | 8 | |
| z | = | 8 ÷ 2 | |
| z | = | 4 | |
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.
| 2 + y − 4 | = | 1 | (1) |
| y | = | 1 − 2 + 4 | |
| y | = | 3 | |
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode substitusi
Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
x = 1 − y + z (1)
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).
| 8(1 − y + z) + 3y − 6z | = | 1 | (2) |
| 8 − 8y + 8z + 3y − 6z | = | 1 | |
| −5y + 2z | = | 1 − 8 | |
| −5y + 2z | = | −7 | (4) |
Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).
| −4(1 − y + z) − y+ 3z | = | 1 | (3) |
| −4 + 4y − 4z − y+ 3z | = | 1 | |
| 3y − z | = | 1 + 4 | |
| 3y − z | = | 5 | (5) |
Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
z = 3y − 5 (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).
| −5y + 2(3y − 5) | = | −7 | (4) |
| −5y + 6y − 10 | = | −7 | |
| y | = | −7 + 10 | |
| y | = | 3 | |
Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.
| z | = | 3(3) − 5 | (6) |
| z | = | 9 − 5 | |
| z | = | 4 | |
Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.
Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.
Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.
Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.
Metode Matriks Invers
Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut
Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.
Sekarang, untuk mencari
B kita perlu mencari
A−1. Silakan melihat halaman tentang
matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.
Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan
Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut
Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.
| A = |
| | |
|
| 1 | 0,375 | -0,75 | 0,125 |
| 0 | 1 | -0,4 | 1,4 |
| 0 | 0 | 1 | 4 |
| |
| | |
|
Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).
Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.
